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2质点振动学一点的，这就是说，构成整个振动系统的质量块与弹簧，它们的运动状态都是均匀的.这种振动系统也被称为集中参数系统，虽然上面所述的系统是理想化的，然而在一定的条件下，它可以被看成是实际系统的近似模型，而且在上述的假设下，数学处理可以大大简化，而研究所得的振动规律的图像又比较清晰和直观，因而对这种质点振动系统的研究显得十分重要.实际物体总是有一定的几何大小，并且物体的各部分振动状态往往是不可能处处相同的.例如，取一有限大小的弹性物体，对其一端进行敲击，那么首先在物体的该端表面发生形变，然后逐渐传播开来.这种形变从始端到末端的传播需要一定时间，而不能瞬时到达.这意味着，物体上各个位置的振动状态，在某一瞬间是各不相同的.但是如果形变从物体的始端到末端的传播所需的时间，与物体中形变或振动周期（振动一次所需的时间）相比短得多，或者物体的线度比物体中振动传播波长（振动一次所传播的距离）小得多，那么这一物体的各部分振动状态就可以看成近似均匀，而这一振动系统就可以近似地看作质点振动系统.这里还要强调一下，一种振动物体能否作为质点系统来对待，并不决定它的“绝对”几何尺寸，而要看它的线度与物体中振动传播波长的相对比值而定，例如常见的0.2口径扬声器，其纸盆的有效直径约有0.18m,但是当振动频率为1000Hz时，从纸盆顶部到边缘的距离还不到纸盆中振动传播波长的1/5，因此在此扬声器的工作频率低于1000Hz时，把纸盆（盆面等效为质量，边缘折环等效为弹簧)作为质点振动系统来对待，不会引起很大的误差.再例如有一个厚度仅为0.5cm的压电陶瓷振子，在进行厚度方向的纵振动，假设它的振动频率为每秒100万次，这时与其对应的波长约为0.5cm,与物体的线度相接近，因此这一压电陶瓷振子虽小，但就不能把它当作质点振动系统，而应视作分布振动系统来对待，而后者将于第2章来进行专门讨论1.2质点的自由振动设有一可作为质点，其质量为Mm的坚硬物体系于弹性系数或劲度系数为Km的弹簧上，构成一简单的振动系统，简称单振子，如图1-2-1所示，假定在没有外力扰动时，物体的重力与弹簧的弹力相平衡，系统处于相对静止状态.取质点Mm的静止位置（或称平衡位置)为坐标原点，设有一外力突然在x方向拉（或推）动M,使弹簧产生伸长（或压缩），随即就释放，此后质点Mm就在弹簧的弹力作用下，在平衡位置附近做往返的运动，即发生振动.如果假定外力仅在初始时刻起作用，而后就去掉了，在这种情况下质点所做的振动称为自由振动.1.2.1自由振动方程分析图1-2-1可知，当质点Mm被拉离平衡位置时，弹簧Km也有了伸长，这时在质点M上就受到弹簧的弹力Fx的作用.我们假设质点离开平衡位置的位移E很小（即限于讨论微小振动），以致弹簧的伸长或收缩没有超出弹性限度范围，则按照虎克定律，弹力的大小同图1-2-1位移成正比，可表示成1.2质点的自由振动3(1-2-1)式中比例系数K。就是上述的弹性系数，有时也常用其倒数C,来表示，C=天称为顺性系数，或称力顺.式中出现的负号表示质点位移的方向与弹力的方向相反，例如质点离开平衡位置向x正方向运动，它的位移为正，这时弹簧的弹力表现为对质点施加拉力，其方向指向x负方向.质点受此弹力作用，将得到加速度，按照牛顿第二定律可得M.(1-2-2)或写成(1-2-3)也可写成+=0,(1-2-4)的自由振动方程1.2.2自由振动的一般规律要了解自由振动的一般规律，首先要对振动方程(1-2-4)求解，因为是正的实数，所以这一对时间：的齐次二阶常微分方程的一般解应是两个简谐函数的线性叠加，即=Acos wot+Bsin wot,(1-2-5)式中A,B为两个待定常数，由运动的初始条件来定.(1-2-5)式也可写成另一形式=cos(wot-o),(1-2-6)式中三为的振幅.知道了位移也可求得振动速度v=(1-2-7)dt其中=如东，与%也为待定常数，它们与常数A与B之间有如下关系它们都是取决于初始条件的待定常数，详细研究它们的关系，意义并不大.这里提一下，以后遇到类似情形，就不再赘述了.从(1-2-6)式可以看出位移随时间t的变化规律呈余弦形式.随时间t做正弦或余弦规律的运动，一般称为简谐振动.按(1-2-6)式可以得到位移随时间t的变化规律，如图1-2-2所示.从图可以看出，点为位移的最大值，称为位移振幅，为振动起始时刻的初4质点振动学相位，运动自t=0开始，经过t=T时间，又恢复到原来状态，这一时间T称为运动的周期，即振动一次所需的时间，单位为s(秒)，它的倒数了=于表示每秒的振动次数，称为振动的频率，其单位为Hz,中文名称赫兹，简称赫.1Hz=1s1M图1-2-2从(1-2-6)式可以指出，T=2π，即h=2πf,因此ω就等于2π秒钟的振动次数，称为振动的圆频率（或角频率），因为已知a=,所以可以求得自由振动的频率公式为(1-2-8)或者用力顺Cm来表示1(1-2-9)(1-2-8)式表明，当质点做自由振动时，其振动频率是仅同系统的固有参量有关，而与振动初始条件无关的常数，这就是说只要系统的固有质量Mm和弹性系数Km一定，其振动的频率也就决定了，而同系统是以多大的初始位移或者多大的初始速度开始运动没有关系，因而称这一振动频率为系统的固有频率.自由振动的这一特性，在我们日常工作和生活中是常见的，例如，用小锤来敲击音叉，或用手指弹钢琴的某个键，不管敲或弹得轻重如何，它们发出的声音的频率是一定的，敲或弹得是轻是重仅影响其振动幅度或由它发出声音的强弱.从(1-2-8)式可以看到，一质点振动系统，质量Mm愈大或弹性系数Km愈小，固有频率f。就愈低，反之M愈小或Km愈大，f。就愈高.这一规律颇有实际意义.例如，在以后就会知道，一动圈扬声器振动系统的固有频率对于其低频声学性能有十分重要的影响.而如果需要降低其固有频率，原则上是可按公式(1-2-8)的规律，采取两方面措施：(1)增加系统的质量，即增加音圈与纸盆的质量：(2)减少系统的弹性系数，即使纸盆边缘的折环部分更为柔顺上面已经指出，在描述质点自由振动的位移表示式中有两个待定常数与，它们取决于系统的起振条件，如果这两个常数一旦确定，那么这一系统的振动状态就可完全知道，例如，假设原来质点处于静止状态，在=0的那一瞬间，它得到了一速度，对于这种情况，我们可以写出如下初始条件：1.2质点的自由振动5将此条件代人(1-2-6)与(1-2-7)式，可定得%=，刻，质点的位移与速度为2其中台=血为位移振幅，，=6为速度振幅。从此可以看到，在上述初始条件下，初始速度愈大，则往后的质点振动的位移或速度的振幅也愈大，并且振动时位移与速度相位差受，例如，当一0时，位移为零，而速度却达到最大值%当：一时，位移达到最大值，而速度降为零.这里仅讨论了初始速度为。的初始条件，我们还可以讨论其他的初始条件，例如假设在初始时刻使质点获得一初位移，而其初速度为零，这相当于在初始时刻将质点拉离一位移6，然后再释放使其做自由振动.或者更普遍地假设，在初始时刻初位移与初速度都不等于零.这里就不再赘述了，读者如有兴趣可以自行练习.1.2.3自由振动的能量振子原来处于静止状态，振动能量为零，在初始时刻，振子从外部获得能量，例如，给予其初位移，这相当于给系统一初位能：给予其初速度，这相当于给系统一初动能.振子在获得这种外部来的能量后就开始振动，将其转为振动能.质点在振动时，任一时刻系统所具有的总振动能应等于位能与动能的总和系统具有的位能，应等于当质点离开静止位置时克服弹簧弹力所做的功，根据牛顿第三定律（作用力等于反作用力），因为弹簧对质点的作用力为一Km,所以质点对弹簧的反作用力应为Km点因此贮存在弹簧中的位能就等于(1-2-10)系统所具有的动能可表示为2(1-2-11)于是系统的总振动能就等于(1-2-12)将(1-2-6)与(1-2-7)式代人，可得(1-2-13)从这一关系式可以看到，系统在振动时各个时刻的总能量是一常数，它或者等于质点达到最