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第5章腔体中的声场由于壁面的反射，有限空间（腔体）中的声场将是驻波的形式.如果空间的几何形状不规则，声场将非常复杂，必须采用近似的方法来研究声场的特性.采用何种近似方法与腔体的大小和声波的波长有关.三种常用的方法是：甚低频厅《（其中V是腔的体积，入是所考虑的波长)，腔体中的声场与空间坐标无关，为均匀声场，见5.4节讨论；高频厅>入，几何声学适用，可用统计能量法研究声场的特性，见5.3节讨论；低中频行~(1/3~3)入，必须用简正模式理论来严格讨论.5.1简正模式理论简正模式理论是求解有限空间中声场的基本方法.简正模式的物理意义也非常明显，每个简正模式代表一个驻波模式，而每个简正模式的简正频率就是腔的共振频率，这是实验中可测量的物理量.声源在腔中激发各种简正模式，而腔内的总声场就是被激发的各个简正模式的叠加5.1.1刚性壁面腔体的简正模式和展开如图5.1.1，设闭区域V的边界为刚性边界S,边界的法向为n(与内壁的法向ns相反).在频率域，声波方程和边界条件满足V2p(r,w)+kip(r,w)=-8(r,w)(ko =w/co)op(r,w)(5.1.1a=0图5.1.1腔体V:区域边界的法向n与内壁的法向ns相反第5章腔体中的声场其中，S(r,w)是体源分布.为了求声场分布，我们首先求V内的简正模式(r,w)和简正频率w,它们是下列齐次问题的非零解(5.1.1b)=0On与第4章的二维波导情况类似，三维Laplace算子-V2在刚性边界条件下是Her-mite对称算子，即简正模式(r,w)和简正频率w同样具有三个基本性质：①简正频率w是实数；②简正模式(r,w)相互正交；③简正系{(r,w),入=0,1,2，}(5.1.1c)构成完备系，即定义在V上的平方可积函数p(r,w)可作广义Fourier级数展开(5.1.2a)其中，展开系数为(5.1.2b)方程(4.1.4d)修改为(5.1.2c)频域Green函数对声场激发问题，把方程(5.1.2a)代入(5.1.1a)得到(5.1.3a)由方程(5.1.1b)(5.1.3b)利用(r,w)的正交归一性(5.1.3c)上式代入方程(5.1.2a)(5.1.4a)Go(r.r',w)8(r,w)d3r'5.1简正模式理论1(5.1.4b)=0(5.1.5)=0的解就是Go(r,r',w).因此，方程(5.1.4b)就是Green函数Go(r,r',w)用简正模式展开的表达式时域Green函数对瞬态问题1 a2p(r,t)(5.1.6a)=0,p(r,t)==0方程(5.1.2a)的展开系数与时间有关p(r,t)=(5.1.6b)代入方程(5.1.6a)得a()+dt2(5.1.6cax(t)lt=0=0dtt=0因此，展开系数满足dt2(5.1.6d)a(t)t=0=dax(t)=0dt其中，为了方便定义(5.1.6e)容易求得(5.1.6f)第5章腔体中的声场代入方程(5.1.6b)得到(5.1.7a)3(r',T)g(r,r',t,T)dr'dr其中，定义函数(5.1.7b)5.1.7c)og(r,r',t,t)0g(r,r',t,t')=0故g(r,r',t,)为时域Green函数.声场的总能量为了简单取S(r,t)=S(r)d6t-0)/dt,即t=0时刻，声源发出一个脉冲信号（注意体质量源为S(r,t)=podq(r,t)/dt),于是由方程（⑤.1.7a)(5.1.8a)相应的速度场为(5.1.8b)p00为了讨论简单（但不失一般性），设简正模式是实函数，于是，声场总能量的时间平均为(5.1.8c)其中，利用了少(r,w)的正交性和方程(5.1.2c).从上式可见，声场的总能量是每个简正模式的能量之和注意：方程(5.1.1b)中，由于(r,w)满足Neumann边界条件，wo=0和o(r,wo)=1/W厅总是方程(5.1.1b)的一个解，对应于这个零简正频率的解，流体