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声学原理(第2版)上卷_程建春

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2第1章理想流体中声波的基本性质运动的二种描述方法,即Lagrange方法和Euler方法Lagrange方法如图1.1.1,以流体元的初始坐标Ro=(a,b,c)来识别一个特定流体元Q,在时刻t,该流体元Q(注意:同一个流体元)运动到位置R=(X,Y,Z),其中(X,Y,Z)是建立在空间的坐标系统(注意:坐标系统(X,Y,Z)可以完全不同于坐标系统(a,b,c).显然,R=(X,Y,Z)应该是(a,b,c)和t的连续函数,即X =X(a,b,c,t);Y=Y(a,b,c,t);Z=Z(a,b,c,t)(1.1.1a)因此,该流体元不管什么时候、运动到哪里,它的Lagrange坐标(a,b,c)是不变的,故该流体元的速度矢量为R(a,b,c,t+At)-R(a,b,c,t)oRv(a,b,c,t)=lim△t→0△t8t(1.1.1b)同样,其他物理量也是(a,b,c)和t的函数,如流体元的密度可表示为p=p(a,6,c,t)(1.1.2)其意义为:初始时刻(t=0)位于(a,b,c)的流体元,经t>0时间,当它运动到R=(X,Y,Z)时的密度.如果dp/dt>0,表明流体元受到压缩;反之,如果dp/dt<0,表明流体元膨胀.因此,在Lagrange坐标下,独立变量可取为坐标(a,b,c)和时间t.QR=(X,Y,Z)Ro=(a,b,c)0图1.1.1 Lagrange方法质量守恒方程设流体元Q偏离平衡位置的矢量为=(5,n,s)(如图1.1.1),则(1.1.3a)(5,n,s)也是(a,b,c)的函数.设初始时刻,Q点的流体元占据的小体积为平行于坐标轴的长方体,边长分别为da,db和dc,体积为△o三dadbdc,长方体中心坐标为(a,b,c);当t>0时,由于流体的运动,原来平行于坐标轴的长方体变成平行六面1.1理想流体中的声波方程3体,中心坐标为(X,Y,Z),三条边在坐标轴上的投影分别为-da,aydaBda,aydb,db(1.1.3b)abdc,aydc,-dc因此平行六面体的体积为bdadbdc(1.1.3c设流体元初始时刻和t时刻的密度分别为po和p,质量守恒要求p△=p0△o,因此质量守恒定律的Lagrange形式为1+BaBa81+abab1+得到上式,利用了方程(1.1.3a)的关系运动方程根据牛顿第二定律,位于点R=(X,Y,Z)的流体元Q的运动方程为0t2+pFxP2=(1.1.4a)0t2其中,(Fx,FY,Fz)是外力密度(单位质量流体受到的力)的三个分量,P为流体元受到的压强,当流体元位于(X,Y,Z)点时,受到的压力为P(X,Y,Z,).方程(1.1.4a)中包含对(X,Y,Z)的偏导数,而我们希望像方程(1.1.3d)那样用独立变量(a,b,c,t)表示.注意到第1章理想流体中声波的基本性质十ay ab(1.1.4b)8Y/0c,6Z/8c)乘方程(1.1.4a)并把所得方程相加得到t2(1.1.5a)其中,分别取y=a,b,c.由方程(1.1.3a),方程(1.1.5a)变成(为了方便,假定外力密度为零)1+(1.1.5b)82n1+0t2(1.1.5c)18P(1.1.5d)这就是Lagrange坐标下的运动方程.可见,在Lagrange描述中,我们跟踪每个流体元的运动,物理意义很明显,根据牛顿第二定律容易写出流体元的运动方程但是,Lagrange描述最大的缺点是:R=(X,Y,Z)随流体元一起运动(因而是非惯性参考系),我们无法知道流体中某一特定点(如点M)、在特定时刻(如时刻)的运动状态.因为,我们很难知道M点的流体在t时刻是从哪里流过来的.而且Lagrange坐标下的运动方程(1.1.5b)(1.1.5d)非常复杂.但在处理一维非线性声学问题时,方程(1.1.3d)和(1.1.5b)变得非常简单.在维情况下,方程(1.1.3d)和(1.1.5b)分别简化为Po(1.1.6a)1+(1.1.6b)即(1.1.7a)1.1理想流体中的声波方程5显然,两个方程(1.1.6a)和(1.1.6b)包含三个场量P,p和,另外一个方程是流体介质的状态方程,即P=P(ρ,s)(其中s为单位质量的熵),在等熵条件下(见1.1.2小节讨论),压力P可以看作密度p的单变量函数P=P(p),方程(1.1.7a)变成dp2820t2(1.1.7b)a得到上式,利用了关系2(1.1.7c该式由方程(1.1.6a)求导得到理想气体绝热过程的状态方程为P/p=B6/P3(其中B6和po分别为平衡时的压强和密度,y为比热比),结合方程(1.1.6),我们可以得到-DY-1(1.1.8a)dp(1+a)-1Lagrange坐标中的一维波动方程8t2(1.1.8b)注意:上式对理想气体是严格的一般流体对一般的流体,写出函数关系P=P()是困难的,但可以在平衡点附近作展开,近似到二阶为P-Po=co(p-po)+2(1.1.9a)dp(p-p)=-p08p2(1.1.9b)上式代入方程(1.1.7b)并且利用方程(1.1.6a)得到一维非线性波动方程(1.1.9c)其中,B称为非线性参数(1.1.9d)注意:非线性方程(1.1.9c)是状态方程(1.1.9a)展开后保留二阶项得到的,故称为二阶非线性波动方程
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