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1.4特殊解712 Poc2(1.35)式中，E为单位体积的声能量密度；右式第一项为动能；第二项为势能。尽管式(1.35)采用线性理论推导得到，能量的表达式依然为二阶。式(1.33)是能量守恒的表达式，Q可看作能量密度的流矢量，有时也称为“瞬时能量”或者“能流”。对于在很短时间内的能量变化，可将Q作时间平均得到平均声能密度Qdt'(1.36)以这种方式引入声能量强度暗示其是矢量。对于脉冲声场，对时间的平均一般将？选择在整周期内。声能量的方向由质点速度的方向决定，标量的能量可由下式得到I(r,t)=I(r,t)·n(r)(1.37)I一般指某处的声波能量，但一般会进行空间或时间平均。5.声阻抗此外，常用的变量还有声阻抗，定义为Z=p/,是指某种介质对入射声波的阻力，因而与位置相关。后面我们将会看到，对于简谐振动波可以简化为更简单的表达式。表1.1总结了上述常用的声波变量（为简单起见，只列举了平面波解）。表1.1常用声学变量的表达式名称表达式平面波解声压p(r,t)质点速度Aexp[i(wt-kx)]PocA压缩变量速度势Vp(r,t')dt'iAPow-exp[i(wt-kx)]声阻抗Z=p/u声强I=puA2/2poc1.4特殊解声波方程只在应用介质的基本物理特性基础上推导得到，并没有涉及声源的振动特性及边界条件。在某些对称性的情况下，由于维数的减少，声波方程可以得到相对简单的解。下面我们列举几种特殊情况下声波方程的解。8第1章声波在生物组织中传播基础1.4.1平面波(1.38)(1.39)V2=82(1.40)这里，了和k表示x,,z三个轴的单位矢量。假设声波只依赖于三个轴中的一个(例如，x轴)，则三维波动方程(1.22)可简化为0x2c20t2=0(1.41)式中，pr为平面波声压；c为与介质相关的常量。式(1.41)的解为p(x,t)=g(x-ct)+g(z+ct)(1.42)式中，g和q是任意函数，沿着正x方向以速度c传播，无振幅及波形的变化。平面波的解是声学原理的基础。如果声源随时间作简谐振动，(1.43)其中，A为波的振幅，并且(1.44)k为波数；入为波长。表1.1列出了声学各变量与简谐振动波的振幅和频率的关系。对于向前传播的声波（正x轴），特征声阻抗为Poc,该常数仅决定于介质特性。而沿着相反方向传播的平面波，其特征声阻抗为负值，但幅值不变。当两个具有相同幅度和频率，但传播方向相反的简谐振动的平面波相叠加时，pswz(,t)=Aexp[i(kz-wt)]+Aexp[-i(kx+wt)]=2A cos(kz)exp(iwt)(1.45)这种不传播的波称为驻波，在某些确定的位置声压消失，其位置称为节点。在某些位置出现极大值士2A,其位置称为反节点。而位移节点出现在声压的反节点上，反之亦然。1.4.2球面波球极坐标中有(1.46)1.4特殊解9如考虑对称性，则声波方程简化为82(rpr)c20t2=0(1.47)这里p,表示球面波声压。式(1.41)与式(1.47)相似，式(1.47)的通解为Pr(r,t)=g(r-ct)+q(r+ct)(1.48)该通解包括两个球面波，一个向外辐射（发散），另一个向球心会聚。二者形式相同，但幅度可以不同。对于简谐振动的波源，如果向无界空间辐射的自由行波，没有反射波出现，式(1.48)可写为(1.49)其中，A一般为复数，A/r的绝对值为声压幅值。1.4.3柱面波柱坐标系中有(1.50)且h=√2+y严。声压场不依赖于p和z,声波方程简化为=0c20t2(1.51)与平面波及球面波不同，即使对于简谐振动波源式(1.51)也没有简单的解。但在这种情况下式(1.51)可改写为8h2(1.52)p为简谐振动的柱面波的声压。该方程表明了一个包含贝塞尔函数的解。相对于平面波和球面波，简谐振动的柱面波传播时形状不会变化。但考虑到q()=(1.53)在渐近条件下，h一oo,式(1.53)的近似解的形式为exp(ikh),向外传播的柱面波可描述为PHh =(1.54)10第1章声波在生物组织中传播基础1.5格林函数和瑞利积分作为常用辅助函数，格林函数在很多地方得到应用（例如，散射理论），并可以与特定的声波方程相联系。式(119)中格林函数定义为如下方程的解：c20t2=-4r6(r-ro)6(t-to)(1.55)式(1.55)表示一个脉冲声源作用于(ro,to)的声波方程。式中，G(r,t,ro,to)表示格林函数；(t一to)表示狄拉克函数。要得到精确的解，必须给定边界和起始条件。在无穷自由空间，满足索末菲辐射条件(G在很远距离处很快下降)下得到(1.56)这里R=r-rol,起始点为ro及起始时间为to。自由空间的格林函数Gs具有球面脉冲波的形式。利用格林函数可以求解表面振动声源作用于自由介质时的声波方程(1.19)。首先考虑一个固定于封闭表面S内体元V,式(1.19)在V内成立，但要获得方程的解，就必须知道声压及其微分的边界条件。在V内任何地方，边界条件为p和，在t=0时为0：但在边界处无此必要。式(1.19)乘以G,式(1.55)乘以p,然后两式相减，在时间和空间上沿边界积分，可得dt(1.57)为避免积分可能在冲激函数的峰值处结束，时间积分上限为t加上一个无穷小量。V的下标表明它对积分变量r0计算。对左边的第一项应用格林定理，将体积分变化为面积分，对第二项的部分积分进行运算，并应用声压场的初始条件可以得到dtodSo.[G(Ir-rol,t-to)Vop(ro,to)-pVoG}=p(r,t)(1.58)为进一步计算，声压场的边界条件必须说明，并且格林函数的形式应满足相同的边界条件。考虑一种特殊情况：被考虑的区域为半无限空间之>0，以中心为原点的无穷大半球以及一个通过原点的平面。并且平面边界的大部分为刚性，即声压